2019.6.22

2006DMM-Devil Round-D8

What is the maximum number of pieces that an spherical watermelon can be divided into with four straight planar cuts?

题解

interesting problem。

把最多平面划分拓展到三维。

二维递推就非常简单了

$a_n = a_{n-1} + n$

$a_n = \frac{n * (n-1)}{2}$

三维可以用一样的递推思路,如果我们得到上一次划分的数量$b_{n-1}$.现在要划分一次。

很容易发现只要面相交一次就会增加一块。这样就是平面划分的个数。

$b_n = b_{n-1} + a_{n-1}$

求和后得到$b_n = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}$


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喜闻乐见。